Question

19．設M是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的點，過M作x軸的垂線l，垂足為N，P為直線l上一點，且$\overrightarrow{PN}$=2$\overrightarrow{MN}$，當點M在橢圓上運動時，記點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設橢圓的右焦點為F，上頂點為A，求$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{FP}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設P（x，y），M（x₀，y₀），運用向量共線的坐標表示和點滿足橢圓方程，可得所求軌跡方程；
（2）運用向量的數(shù)量積的坐標表示和直線與圓有公共點的條件：d≤r，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設P（x，y），M（x₀，y₀），∵$\overrightarrow{PN}$=2$\overrightarrow{MN}$，
∴x₀=x，y₀=$\frac{y}{2}$，
∵點M在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，
即$\frac{{x}^{2}}{4}$+（$\frac{y}{2}$）²=1，整理得x²+y²=4．
∴曲線C的方程為x²+y²=4；
（2）∵橢圓的右焦點F（$\sqrt{3}$，0），上頂點A（0，1），
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{FP}$=（x-$\sqrt{3}$，y）•（x，y-1）=（x-$\sqrt{3}$）x+y（y-1）=x²+y²-$\sqrt{3}$x-y=4-$\sqrt{3}$x-y，
設t=$\sqrt{3}$x+y，即$\sqrt{3}$x+y-t=0，
∵d=$\frac{|t|}{\sqrt{3+1}}$≤2，
∴-4≤t≤4，
∴0≤$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{FP}$≤8，
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{FP}$的取值范圍為[0，8]．

點評 本題考查軌跡方程的求法，注意向量共線的坐標表示和點滿足橢圓方程，考查向量的數(shù)量積的坐標表示和直線和圓相交的條件，屬于中檔題．