Question

20．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos²A=$\sqrt{2}$a，且c²=b²+$\sqrt{3}{a^2}$，則sinB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知和正余弦定理可得abc的關(guān)系，再由余弦定理可得cosB，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinB．

解答 解：∵在△ABC中，asinAsinB+bcos²A=$\sqrt{2}$a，
∴由正弦定理得$sinB（{sin^2}A+{cos^2}A）=\sqrt{2}sinA$，
化簡(jiǎn)可得sinB=$\sqrt{2}$sinA，∴b=$\sqrt{2}$a，
又${c^2}={b^2}+\sqrt{3}{a^2}$，∴${c^2}=（2+\sqrt{3}）{a^2}$，
故可設(shè)$a=1\;，\;\;b=\sqrt{2}\;，\;\;c=\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{{\sqrt{3}+1}}{{\sqrt{2}}}$，
∴由余弦定理可得$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{1+2+\sqrt{3}-2}}{{2×1×\frac{{\sqrt{3}+1}}{{\sqrt{2}}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形，涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬中檔題．