Question

18．求函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4在[0，a]（a＞0）上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 f′（x）=（x+2）（x-2）．當x＞2時，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當0＜x＜2時，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．對a分類討論：當a＞2時，當0＜a≤2時，利用單調(diào)性研究極值與最值即可得出．

解答 解：f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）．
∴當x＞2時，f′（x）＞2，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當0＜x＜2時，f′（x）＜2，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
①當a＞2時，函數(shù)f（x）在[0，2）上單調(diào)遞減；在（2，a]上單調(diào)遞增；
∴當x=2時，函數(shù)f（x）取得最小值，f（2）=$\frac{8}{3}$-4=$-\frac{4}{3}$．
而f（0）=4，f（a）=$\frac{1}{3}{a}^{3}$-4a+4，
∴f（x）_max=$\{4，\frac{1}{3}{a}^{3}-4a+4{\}}_{max}$．
②當0＜a≤2時，函數(shù)f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減；
∴當x=a時，函數(shù)f（x）取得最小值，f（a）=$\frac{1}{3}{a}^{3}$-4a+4；
當x=0時，函數(shù)f（x）取得最大值，f（0）=4．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究閉區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．