Question

7．已知橢圓的兩個焦點分別為F₁，F₂，過F₁的直線交橢圓于M，N兩點，且MF₂=F₁F₂，MF₁=4，NF₁=3，則橢圓的離心率為$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 設橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），運用橢圓的定義，可得|NF₂|=2a-|NF₁|=2a-3，|MF₂|+|MF₁|=2a，即有2c+4=2a，取MF₁的中點K，連接KF₂，則KF₂⊥MN，由勾股定理可得a+c=12，解得a，c，運用離心率公式計算即可得到．

解答 解：設橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
F₁（-c，0），F₂（c，0），
|MF₂|=|F₁F₂|=2c，
由橢圓的定義可得|NF₂|=2a-|NF₁|=2a-3，
|MF₂|+|MF₁|=2a，即有2c+4=2a，
即a-c=2，①
取MF₁的中點K，連接KF₂，則KF₂⊥MN，
由勾股定理可得|MF₂|²-|MK|²=|NF₂|²-|NK|²，
即為4c²-4=（2a-3）²-25，化簡即為a+c=12，②
由①②解得a=7，c=5，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{7}$．
故答案為：$\frac{5}{7}$．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質，主要考查橢圓的定義的運用和離心率的求法，考查運算能力，屬于中檔題．