Question

16．已知區(qū)域T$\left\{{\left.{（x，y）}\right|\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ 0≤x≤\sqrt{y}\end{array}\right.}\right\}$的面積為t，當x，y∈T時，z=tx-$\frac{11}{3}$y的最大值是（　�。�

• A． -22
• B． $\frac{11}{3}$
• C． 0
• D． $\frac{11}{3}$

Answer 1

分析 利用定積分求出t，然后通過線性規(guī)劃求出z=tx-$\frac{11}{3}$y的最大值．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}x+y=6\\ x=\sqrt{y}\end{array}\right.$可得x=-3（舍去），x=2，
∴t=${∫}_{0}^{2}（6-x-{x}^{2}）z4x4znc_{x}$=$（6x-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}）{|}_{0}^{2}$=$\frac{22}{3}$．
∴z=$\frac{22}{3}$x-$\frac{11}{3}$y，約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ 0≤x≤\sqrt{y}\end{array}\right.$的可行域如圖：

z=$\frac{22}{3}$x-$\frac{11}{3}$y，化為y=2x-$\frac{3}{11}z$，顯然y=2x-$\frac{3}{11}z$與y=x²相切時，z取得最大值．
可得2x-$\frac{3}{11}z$=x²，即：x²-2x+$\frac{3}{11}z$=0，△=4-$4×\frac{3}{11}z≥0$，可得z≤$\frac{11}{3}$．
z的最大值為：$\frac{11}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查線性規(guī)劃的應用，畫出可行域以及目標函數(shù)的幾何意義是解題的關鍵．