Question

19．如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E，∠BAC的平分線與BC相交于點D，求證：
（1）EA=ED；
（2）DB•DE=DC•BE．

Answer 1

分析 （1）利用圓的切線以及角的平分線，證明三角形是等腰三角形，推出結果．
（2）通過證明△ABE∽△CAE，結合（1）然后證明DB•DE=DC•BE．

解答 證明：（1）∵∠ADE=∠ABD+∠BAD，∠DAE=∠DAC+∠EAC，
而∠ABD=∠EAC，∠BAD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAE，
三角形ADE是等腰三角形．
∴EA=ED．…（5分）
（2）∵$\left\{\begin{array}{l}∠ABE=∠CAE，\;\;\\∠AEB=∠CEA，\;\;\end{array}\right.$∴△ABE∽△CAE，
∵∠ABE=∠CAE，∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{AE}$，
又∵$\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}$，∴$\frac{DB}{DC}=\frac{BE}{AE}$，即DB•AE=DC•BE，
由（Ⅰ）知EA=ED，∴DB•DE=DC•BE．…（10分）

點評 本題考查圓的內(nèi)接多邊形，三角形相似以及弦切角的知識的應用，考查推理與證明．