Question

20．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C對(duì)的邊分別為a、b、c，若b=3，2c=a+3$\sqrt{2}$，則cosC最小值為$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosC，把得出關(guān)系式整理后代入，利用基本不等式求出cosC的最小值即可．

解答 解：∵2c=a+3$\sqrt{2}$，
∴兩邊平方得：4c²=a²+18+6$\sqrt{2}$a，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+9-{c}^{2}}{6a}$=$\frac{1}{8}$（a+$\frac{6}{a}$）-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≥$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$（當(dāng)且僅當(dāng)a=$\sqrt{6}$時(shí)取等號(hào)），
則cosC的最小值為$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．