Question

6．當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，函數(shù)f（x）=|x⁵-5x|的最大值為22．

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=x⁵-5x，判斷函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在[0，2]上的最值，即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)g（x）=x⁵-5x，則g（-x）=-x⁵+5x=-（x⁵-5x）=-g（x），
則g（x）為奇函數(shù)，
則當(dāng)0≤x≤2時(shí)，g′（x）=5x⁴-5=5（x⁴-1）=5（x²+1）（x²-1），
由g′（x）＞0得x＞1或x＜-1，即此時(shí)1＜x≤2時(shí)，函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
g′（x）＜0得-1＜x＜1，即此時(shí)0≤x＜1時(shí)，函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值，同時(shí)也是最小值，g（1）=1-5=-4，
∵g（0）=0，g（2）=2⁵-5×2=32-10=22，
∴在[0，2]上的最大值為22，即當(dāng)0≤x≤2時(shí)，-4≤g（x）≤22，
則0≤|g（x）|≤22
∴x∈[-2，2]時(shí)，函數(shù)f（x）=|x⁵-5x|的最大值為22，
故答案為：22

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的求解，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間是關(guān)系求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．