Question

14．已知函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3ax 且函數(shù)過點(diǎn)（1，$\frac{4}{3}$），解答：
（1）求a；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3）求函數(shù)的極值．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）將（1，$\frac{4}{3}$）代入y=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3ax，
得：a=1，
（2）由（1）y=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x，
y′=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
令y′＞0，解得：x＞3或x＜1，
令y′＜0，解得：1＜x＜3，
故函數(shù)在（-∞，1）遞增，在（1，3）遞減，在（3，+∞）遞增；
（3）由（2）y_極大值=y|_x=1=$\frac{4}{3}$，y_極小值=y|_x=3=0．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題．