Question

17．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=-n²+16n-2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n：
（2）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到通項(xiàng)公式；
（2）討論當(dāng)1≤n≤8時(shí)，|a_n|=a_n，當(dāng)n≥9，|a_n|=-a_n=2n-17，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：（1）∵S_n=-n²+16n-2，
∴n＞1時(shí)，S_n-1=-（n-1）²+16（n-1）-2，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=13，
a_n=S_n-S_n-1=-2n+17，
當(dāng)n=1時(shí)，-2n+17=14≠a₁，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{13，n=1}\\{-2n+17，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）由-2n+17≥0得n≤$\frac{17}{2}$．
∴當(dāng)1≤n≤8時(shí)，|a_n|=a_n，
當(dāng)n≥9，|a_n|=-a_n=2n-17，
當(dāng)n≤8時(shí)，|a_n|中第一項(xiàng)是13，
第二項(xiàng)起是以13為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，
∴前n項(xiàng)和T_n=13+13（n-1）+$\frac{1}{2}$（n-1）（n-2）•（-2）=-2+16n-n²（1＜n≤8），
當(dāng)n≥9時(shí)，此時(shí)|a_n|的前8項(xiàng)之和已得出為62，
|a_n|的后n-8項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，后n-8項(xiàng)的和為
T_n'=（n-8）×1+$\frac{1}{2}$（n-8）（n-9）×2=n²-16n+64，
∴T_n=62+T_n'=n²-16n+126．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2+16n-{n}^{2}，n≤8}\\{{n}^{2}-16n+126，n≥9}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．