Question

1．已知P為離心率是$\frac{\sqrt{6}}{3}$的橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上動點，A（-1，1），B（1，-1）為橢圓上的兩個定點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M，N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導出$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，由此能求出橢圓C的方程．
（2）假設存在這樣的點P（x₀，y₀），設出直線AP的方程和直線BP的方程，由直線AP，BP分別與直線x=3交于點M，N，得△PMN的面積=$\frac{|{x}_{0}+{y}_{0}|（3-{x}_{0}）^{2}}{|{{x}_{0}}^{2}-1|}$，△PAB的面積=|x₀+y₀|，由此能確定存在點P使得△PAB和△△PMN的面積相等，并能求出點P坐標．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點A（-1，1），離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=$\frac{4}{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}$=1．
（2）如圖，假設存在這樣的點P（x₀，y₀），
因為A（-1，1），B（1，-1），
則直線AP的方程為y-1=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}+1}$（x+1），
直線BP的方程為y+1=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$（x-1），
∵直線AP，BP分別與直線x=3交于點M，N，
∴令x=3，得y_M=$\frac{4{y}_{0}+{x}_{0}-3}{{x}_{0}+1}$，y_N=$\frac{2{y}_{0}-x+3}{{x}_{0}-1}$，
∴△PMN的面積S_△PMN=$\frac{1}{2}$|y_M-y_N|（3-x₀）=$\frac{|{x}_{0}+{y}_{0}|（3-{x}_{0}）^{2}}{|{{x}_{0}}^{2}-1|}$，
又∵AB=2$\sqrt{2}$，直線AB的方程為x+y=0，
∴點P到直線AB的距離d=$\frac{|{x}_{0}+{y}_{0}|}{\sqrt{2}}$，
∴△PAB的面積S_△PAB=$\frac{1}{2}AB•d$=|x₀+y₀|，
∵點P不同于A，B，∴|x₀+y₀|≠0，
∴（3-x₀）²=|x₀²-1|
解得x₀=$\frac{5}{3}$，從而y₀=±$\frac{\sqrt{33}}{9}$，
∴存在點P使得△PAB和△△PMN的面積相等，點P坐標為（$\frac{5}{3}$，±$\frac{\sqrt{33}}{9}$）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的確定，綜合性強，難度大．