Question

13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點為A，右焦點為F（c，0），P（x₀，y₀）為橢圓上一點且PA⊥PF．
（1）若a=3，b=$\sqrt{5}$，求△AFP的面積；
（2）求證：以F為圓心，F(xiàn)P為半徑的圓與直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$相切．

Answer 1

分析 （1）a=3，b=$\sqrt{5}$，可得c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$．可得橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．于是$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{5}$=1，由于PA⊥PF，可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PF}$=0，化為：（x₀+3）（x₀-2）+${y}_{0}^{2}$=0，聯(lián)立解出，利用△AFP的面積S=$\frac{1}{2}{y}_{0}$（a+c）即可得出．
（2）依題意，橢圓右焦點到直線x=

a2

c

的距離為

a2

c

-c，且

x02

a2

+

y02

b2

=1，由PA⊥PF得，即y02=-x02+（c-a）x0+ca，可得x0=-

a（a2-ac-c2）

c2

．可得PF=

（x0-c）2+y02

，代入化簡即可得出．

解答 （1）解：∵a=3，b=$\sqrt{5}$，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{5}$=1，
∵PA⊥PF，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PF}$=0，
化為：（x₀+3）（x₀-2）+${y}_{0}^{2}$=0，
聯(lián)立解得：y₀=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．
∴△AFP的面積S=$\frac{1}{2}{y}_{0}$（a+c）=$\frac{1}{2}×\frac{5\sqrt{3}}{4}$×5=$\frac{25\sqrt{3}}{8}$．（2）
（2）證明：依題意，橢圓右焦點到直線x=

a2

c

的距離為

a2

c

-c，且

x02

a2

+

y02

b2

=1，①
由PA⊥PF得，

y0

x0+a

•

yo

x0-c

=-1，即y02=-x02+（c-a）x0+ca，②
由①②得，（x0+a）[x0+

a（b2-ac）

c2

]=0，
解得x0=-

a（a2-ac-c2）

c2

或x₀=-a（舍去）．
所以PF=

（x0-c）2+y02

=

（x0-c）2-x02+（c-a）x0+ca

=|a-

c

a

x0|
=a+

c

a

•

a（a2-ac-c2）

c2

=

a2

c

-c，
所以以F為圓心，F(xiàn)P為半徑的圓與右準線x=

a2

c

相切．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、向量垂直與數(shù)量積的關系、勾股定理、兩點之間的距離公式、直線與圓相切的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．