Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求正整數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）1

【解析】

（1）求出切線斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得切線方程；

（2）分離參數(shù)得對(duì)恒成立，構(gòu)造新的函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，得，再構(gòu)造函數(shù).再求，分析的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理發(fā)現(xiàn)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，由得.同時(shí)可得時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，則，則.又因?yàn)?/span>，m為正整數(shù)，所以的最小值是1.

解：（1），

切線的斜率為，

又，

所求切線的方程為；

（2）當(dāng)時(shí)，整理可得，

令，則，

令，則，

由，得，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

，，

在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，

此時(shí)，即，

當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，

有極大值，即最大值為

，

則，

，

正整數(shù)的最小值是1.