Question

10．設(shè)雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的離心率為e，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)Q（3a，0），若C上存在一點(diǎn)P，使得AP⊥PQ，則（　�。�

• A． $e∈（{1，\sqrt{2}}）$
• B． $e∈（{\sqrt{2}，\sqrt{3}}）$
• C． $e∈（{1，\sqrt{3}}）$
• D． $e∈（{\sqrt{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 P（m，n），根據(jù)數(shù)量積為零算出（m-a）（3a-m）-n²=0，結(jié)合點(diǎn)P（m，n）在雙曲線上消去n，得關(guān)于m的一元二次方程（m-a）（3a-m）-b²（$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=0，此方程的一個(gè)根為a，而另一個(gè)根為大于a的實(shí)數(shù)，由此建立關(guān)于a、b、c不等式關(guān)系，化簡(jiǎn)整理即可得到離心率e的取值范圍．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P（m，n），可得$\overrightarrow{AP}$=（m-a，n），$\overrightarrow{PQ}$=（3a-m，-n），
∵AP⊥PQ，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PQ}$=（m-a）（3a-m）-n²=0…（1）
又∵P（m，n）在雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$上，
∴得n²=b²（$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-1）…（2）
將（2）式代入（1）式，得（m-a）（3a-m）-b²（$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=0，
化簡(jiǎn)整理，得-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$m²+4am+c²-4a²=0，
此方程的一根為m₁=a，另一根為m₂=$\frac{4{a}^{3}-a{c}^{2}}{{c}^{2}}$．
∵點(diǎn)P是雙曲線上異于右頂點(diǎn)A的一點(diǎn)，
∴$\frac{4{a}^{3}-a{c}^{2}}{{c}^{2}}$＞a，得4a²＞2c²，即e²＜2，
由此可得雙曲線的離心率e滿足1＜e＜$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題給出雙曲線上存在一點(diǎn)P，到A（a，0）和Q（3a，0）所張的角等于90°，求雙曲線離心率的取值范圍，著重考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與雙曲線關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．