Question

1．某校高一年級開設(shè)A，B，C，D，E五門選修課，每位同學(xué)須彼此獨(dú)立地選三門課程，其中甲同學(xué)必選A課程，不選B課程，另從其余課程中隨機(jī)任選兩門課程．乙、丙兩名同學(xué)從五門課程中隨機(jī)任選三門課程．
（Ⅰ）求甲同學(xué)選中C課程且乙同學(xué)未選中C課程的概率；
（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙選中C課程的人數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)事件A為“甲同學(xué)選中C課程”，事件B為“乙同學(xué)選中C課程”．求出A，B的概率，然后求解甲同學(xué)選中C課程且乙同學(xué)未選中C課程的概率．
（Ⅱ）X的可能取值為：0，1，2，3．求出概率，得到X為分布列，然后求解期望．

解答 （共13分）
解：（Ⅰ）設(shè)事件A為“甲同學(xué)選中C課程”，事件B為“乙同學(xué)選中C課程”．
則$P（A）=\frac{C_2^1}{C_3^2}=\frac{2}{3}$，$P（B）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$．
因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立，
所以甲同學(xué)選中C課程且乙同學(xué)未選中C課程的概率為$P（A\overline B）=P（A）P（\overline B）=P（A）[1-P（B）]=\frac{2}{3}×\frac{2}{5}=\frac{4}{15}$．  …（4分）
（Ⅱ）設(shè)事件C為“丙同學(xué)選中C課程”．
則$P（C）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$．X的可能取值為：0，1，2，3．
$P（X=0）=P（\overline A\overline B\overline C）=\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}=\frac{4}{75}$．
$P（X=1）=P（A\overline B\overline C）+P（\overline AB\overline C）+P（\overline A\overline BC）$=$\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{20}{75}$．
$P（X=2）=P（AB\overline C）+P（A\overline BC）+P（\overline ABC）$=$\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{33}{75}$．
$P（X=3）=P（ABC）=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{18}{75}$．
X為分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{75}$	$\frac{20}{75}$	$\frac{33}{75}$	$\frac{18}{75}$

$E（X）=0×\frac{4}{75}+1×\frac{20}{75}+2×\frac{33}{75}+3×\frac{18}{75}=\frac{140}{75}=\frac{28}{15}$．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查計(jì)算能力．