Question

4．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，函數(shù)F（x）=f（x）-x的兩個(gè)零點(diǎn)為m，n（m＜n）．
（1）若m=-1，n=2，求不等式F（x）＞0的解集．
（2）若a＞0，且0＜x＜m＜n＜$\frac{1}{a}$，比較f（x）與m的大�。�

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)F（x）=f（x）-x的兩個(gè)零點(diǎn)為m，n，因此該函數(shù)解析式可表示為F（x）=a（x-m）（x-n），
（1）m=-1，n=2時(shí)，對(duì)a＞0，或a＜0．進(jìn)行討論，寫出不等式的解集即可；
（2）要比較f（x）與m的大小，做差，即有f（x）-m=a（x-m）（x-n）+x-m=（x-m）（ax-an+1），根據(jù)a＞0且0＜x＜m＜n＜$\frac{1}{a}$，分析各因式的符號(hào)，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由題意知，F(xiàn)（x）=f（x）-x=a（x-m）（x-n）
當(dāng)m=-1，n=2時(shí)，不等式F（x）＞0
即為a（x+1）（x-2）＞0．
當(dāng)a＞0時(shí)，不等式F（x）＞0的解集為{x|x＜-1，或x＞2}；
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式F（x）＞0的解集為{x|-1＜x＜2}．
（2）f（x）-m=a（x-m）（x-n）+x-m=（x-m）（ax-an+1）
∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜$\frac{1}{a}$，即0＜ax＜am＜an＜1；
∴x-m＜0，an＜1，
∴1-an+ax＞0
∴f（x）-m＜0，
即f（x）＜m．

點(diǎn)評(píng) 此題是中檔題．考查二次函數(shù)的兩根式，以及不等式比較大小等基礎(chǔ)知識(shí)和方法，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．