Question

（本小題滿分12分）如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是PC中點，G為AC上一點．

（1）求證：BD⊥FG；

（2）當(dāng)二面角B—PC—D的大小為時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）要證明線線垂直，一般通過證明線面垂直得到，本題采用傳統(tǒng)和向量法兩種方法解決；傳統(tǒng)法：由已知易得PA⊥BD，AC⊥BD，故BD⊥平面APC，從而BD⊥FG，向量法建系后只需證明0即可；（2）作BH⊥PC于H，易得∠BHD是二面角B－PC－D的平面角．即從而向量法可設(shè)A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）D（0，1，0）P（0，0，a）求得平面PBC的一個法向量為，平面PDC的一個法向量，由得，

試題解析：方法一：（1） PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，其對角線BD，AC交于點E

∴PA⊥BD，AC⊥BD，

∵PA交AC與點A ∴BD⊥平面APC 2分

∵FG平面PAC，∴BD⊥FG 4分

（2）作BH⊥PC于H，連接DH，∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，∴△PCB≌△PCD，∴DH⊥PC，且DH=BH，∴∠BHD是二面角B－PC－D的平面角．即 7分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角 8分

連結(jié)EH，則，

而， 10分

11分

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是 12分

方法二：（1）以A為原點，AB，AD，PA所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）, 1分

∵， 2分

∴BD⊥FG 4分

（2）設(shè)平面PBC的一個法向量為

則，而

，取，得， 8分

同理可得平面PDC的一個法向量，設(shè)所成的角為，

則

即 10分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是 12分

考點：立體幾何