Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{x+1}$
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若x≥0時(shí)有f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=$\frac{x+1-a}{（1+x）^{2}}$，當(dāng)0＜a≤1時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)a＞1時(shí)，在（0，a-1）是單調(diào)遞減，在（a-1，+∞）單調(diào)遞增；
（2）由（1）可得f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，由f（0）=0可得恒成立；當(dāng)a＞1時(shí)，存在x＞0，使f（x）＜0即不恒成立，綜合可得a的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{x+1}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{a（x+1）-ax}{（x+1）^{2}}$
=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{a}{（x+1）^{2}}$=$\frac{x+1-a}{（1+x）^{2}}$，x＞0
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞1時(shí)，可得x∈（0，a-1）時(shí)f′（x）＜0，x∈（a-1，+∞）時(shí)f′（x）＞0
∴f（x）在（0，a-1）是單調(diào)遞減，在（a-1，+∞）單調(diào)遞增．
（2）由（1）知當(dāng)a≤1時(shí)，f′（x）≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)x=0且a=1時(shí)取等號(hào)，
∴f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，
∵f（0）=0，∴a≤1時(shí)，f（x）≥0恒成立（僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)）；
當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)x∈（0，a-1]有f′（x）＜0，
∴f（x）在區(qū)間（0，a-1]單調(diào)遞減，f（a-1）＜f（0），
即a＞1時(shí)，存在x＞0，使f（x）＜0，故f（x）≥0不恒成立，
綜上可知，a的取值范圍（-∞，1]

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問(wèn)題以及分類討論的思想，屬難題．