Question

4．已知，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$（丨x-a²|+|x-2a²|-3a²），若任意x∈R，f（x-1）≤f（x），則a的取值是[$-\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]．

Answer 1

分析 把x≥0時(shí)的f（x）改寫成分段函數(shù)，求出其最小值，由函數(shù)的奇偶性可得x＜0時(shí)的函數(shù)的最大值，由對(duì)?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），可得2a²-（-4a²）≤1，求解該不等式得答案．

解答 解：當(dāng)x≥0時(shí)
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-3{a}^{2}，}&{x＞2{a}^{2}}\\{-{a}^{2}，}&{{a}^{2}＜x≤2{a}^{2}}\\{-x，}&{0≤x≤{a}^{2}}\end{array}\right.$，
作圖可知，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x） 的最小值f（x）_min=-a²，
∵函數(shù)f（x） 為奇函數(shù)；
∴當(dāng)x＜0 時(shí)f（x） 的最大值f（x）_max=a²，
∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x-1）≤f（x），
∴3a²-（-3a²）≤1，
即6a²≤1，
解得$-\frac{\sqrt{6}}{6}$≤x≤$\frac{\sqrt{6}}{6}$，故實(shí)數(shù)的取值范圍是[$-\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]，
故答案為：[$-\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立問(wèn)題，考查分段函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，運(yùn)用了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法是解決本題的關(guān)鍵．