Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{x}$，g（x）=（2a-1）sinx+（1-a）sin（1-a）x．
（1）判斷f（x）在區(qū)間（0，$\frac{4π}{3}$）上的單調(diào)性，并給出證明；
（2）?a∈（0，1），x∈（0，π），證明：g（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，利用單調(diào)性判斷出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性
（2）利用原函數(shù)的單調(diào)性，采用放縮法證明不等式成立．

解答 解：f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$
令h（x）=xcosx-sinx
h′（x）=-xsinx
當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減，h（x）＜h（0）=0
∴f′（x）＜0
∴函數(shù)f（x）遞減
當(dāng)x∈（π，$\frac{4π}{3}$）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，h（x）＜h（$\frac{4π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2π}{3}$＜0
∴函數(shù)f（x）遞減
故函數(shù)在（0，$\frac{4π}{3}$）上單調(diào)遞減．
（2）x∈（0，π）時(shí)f（x）遞減，?a∈（0，1），x∈（0，π）
∵（1-a）x＜x
∴$\frac{sin（1-a）x}{（1-a）x}$＞$\frac{sinx}{x}$
∴sin（1-a）x•x＞（1-a）xsinx
∴（1-a）sin（1-a）x＞（1-2a+a²）xsinx＞（1-2a）xsinx
∴g（x）＞0．

點(diǎn)評(píng) 考查利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用放縮法證明不等式問題．