Question

17．已知定義域為R的函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+2}$是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的單調性，并證明你的結論；
（3）若對任意的x∈R，不等式f（mx²+x-3）+f（x²+mx）＞0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（0）=0，可得a=1；
（2）f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$在R上為減函數(shù)．運用單調性的定義，注意作差、變形、定符號和下結論；
（3）由f（x）為奇函數(shù)且為遞減函數(shù)，可得mx²+x-3＜-x²-mx，即有（m+1）x²+（m+1）x-3＜0恒成立，討論m+1=0，m+1＜0，且判別式小于0，解不等式即可得到m的范圍．

解答 解：（1）由定義域為R的函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+2}$是奇函數(shù)，
可得f（0）=0，即a-2⁰=0，解得a=1；
（2）f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$在R上為減函數(shù)．
證明：設m＜n，f（m）-f（n）=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1+{2}^{m}}$）-（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1+{2}^{n}}$）
=$\frac{{2}^{n}-{2}^{m}}{（1+{2}^{m}）（1+{2}^{n}）}$，
當m＜n時，2^m＜2ⁿ，即2ⁿ-2^m＞0，則f（m）-f（n）＞0，
即有f（x）在R上遞減；
（3）不等式f（mx²+x-3）+f（x²+mx）＞0恒成立，即為
f（mx²+x-3）＞-f（x²+mx），
由f（-x）=-f（x），可得f（mx²+x-3）＞f（-x²-mx），
由f（x）在R上遞減，可得mx²+x-3＜-x²-mx，
即有（m+1）x²+（m+1）x-3＜0恒成立，
當m+1=0即m=-1時，-3＜0恒成立；
當m+1＜0，且（m+1）²+12（m+1）＜0，（m+1）x²+（m+1）x-3＜0恒成立，
解得-13＜m＜-1．
綜上可得m的范圍是（-13，-1]．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的判斷及應用：解不等式，考查二次不等式恒成立問題的解法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．