Question

現(xiàn)假設紅色球與黑色各有n個，且互不相同．
（1）當n=3時，若將這些球放入3個不同的盒子中，每個盒子至少有一個球，則有多少種不同的放法？
（2）當n=3時，若將這些球隨機的配成3對，則至少有一對球的顏色一樣的概率是多少？
（3）將這些球隨機的配成n對，記P_n為至少有一對球的顏色一樣的概率，求證：P_n-P_n-1＜ （其中n≥3 ）．

Answer 1

【答案】分析：（1）不同的放法可以分為三類3個盒子中分別有1個、1個、4個；1個、2個、3個；2個、2個、2個．分別計算出各類中的算法再相加；
（2）由題意，可用排除法計數(shù)，先計算出總的基本事件數(shù)，再計算出顏色都不一樣的事件的基本事件數(shù)，作差即可得到顏色至少有一個一樣的事件所包含的基本事件數(shù)；
（3）先求出事件“這些球隨機的配成n對，記P_n為至少有一對球的顏色一樣”這個事件的概率表達式P_n，即可得到P_n-1，對此兩者作差，化簡后判斷差的值取值范圍即可．
解答：解：解：（1）這樣的方法有以下幾種情況：
（I）3個盒子中分別有1個、1個、4個，其方法數(shù)為C₆⁴A₃³=15×6=90種；…（1分）
（II）3個盒子中分別有1個、2個、3個，其方法數(shù)為C₆¹C₅²C₃³A₃³=360種；…（2分）
（III）3個盒子中分別有2個、2個、2個，其方法數(shù)為C₆²C₄²C₂²=90；…（3分）
共有540種．…（4分）
（2）配成3對的所有基本事件數(shù)有：=15，
配成3對，每對顏色不一樣，共有6種情況，所以至少有一對顏色一樣的有9種
所以至少有一對顏色一樣的概率為
P==…（8分）
（3）=

∴P_n-P_n-1=
∵=＜，又當k∈N^*，且k＞1時，
∴2（n-k）-[2n-（k+1）]=-k+1＜0
∴=＜1
∴P_n-P_n-1＜   （其中n≥3 ）
點評：本題考查概率的應用，是一個應用題，本題中所給的事件較為復雜，而其對立面相對簡單，故采用了正難則反的策略，解本題關鍵是理解所研究的事件，選擇恰當?shù)慕嵌冉鉀Q問題，本題考查了排除法的技巧，一般正面求解較為困難時，不妨考慮研究其對立面，本題第三問的證明有難度，運算量大，符號多，要認真變形，計算，熟練掌握階乘的表達式是正確計算的保證