Question

5．若方程x²+ax+2b=0的一個根在（0，1）內，另一個根在（1，2）內，則$\frac{b-a}{a-1}$的取值范圍是（-1，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 設f（x）=x²+ax+2b，根據二次函數的性質與零點存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立關于a、b的二元一次不等式組，設點E（a，b）為區(qū)域內的任意一點，則$\frac{b-a}{a-1}$=$\frac{b-1}{a-1}$-1，k=$\frac{b-1}{a-1}$，根據直線的斜率公式可得k=$\frac{b-1}{a-1}$，表示D（1，1）、E連線的斜率，將點E在區(qū)域內運動并觀察直線的傾斜角的變化，即可算出$\frac{b-a}{a-1}$的取值范圍．

解答 解：設f（x）=x²+ax+2b，
∵方程x²+ax+2b=0的一個根在區(qū)間（0，1）內，另一個根在區(qū)間（1，2）內，
∴可得$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$．
作出滿足上述不等式組對應的點（a，b）所在的平面區(qū)域，
得到△ABC及其內部，即如圖所示的陰影部分（不含邊界）．
其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0），

設點E（a，b）為區(qū)域內的任意一點，
則$\frac{b-a}{a-1}$=$\frac{b-1}{a-1}$-1，k=$\frac{b-1}{a-1}$，表示點E（a，b）與點D（1，1）連線的斜率
結合圖形可知：0＜k＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{b-a}{a-1}$的取值范圍是（-1，-$\frac{1}{2}$）．
故答案為：（-1，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題給出含有參數a、b的一元二次方程滿足的條件，求參數a、b滿足的不等式組，并依此求關于a、b式子的取值范圍．著重考查了二次函數的性質、零點存在性定理、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、直線的斜率公式與兩點間的距離公式等知識，屬于中檔題．