Question

【題目】已知函數(shù)，其中

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若對成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 當時，的單調(diào)減區(qū)間為，沒有增區(qū)間；當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（2）.

【解析】分析：（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)性，應先求函數(shù)的定義域。函數(shù)的定義域為。。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，令，則。因為定義域為，所以。解此不等式和的正負有關(guān)。

故分和 兩種情況討論。當時，因為，進而可得在上是減函數(shù)；當時，由，可得，進而得。所以當時，，時，，進而可得在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。

（Ⅱ）由對成立可得對成立，分離變量可得時，恒成立。構(gòu)造函數(shù)，只需即可，所以求導可得函數(shù)的單調(diào)性，進而求其最大值，可得實數(shù)的取值范圍.

詳解：（Ⅰ）定義域為，，

當時，，在上是減函數(shù)，

當時，由得，

當時，，時，，

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

綜上，當時，的單調(diào)減區(qū)間為，沒有增區(qū)間.

當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（Ⅱ）化為，∴時，，

令，∴，

當時，，∴.

∴在上是減函數(shù)，∴即.