Question

17．△ABC，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且1+cos（π+2A）=2sin²$\frac{B+C}{2}$
（1）求角A的大小；
（2）當a=6時，求△ABC面積的最大值并判斷此時△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）已知等式左邊利用誘導公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，右邊利用誘導公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關系式，把a與cosA的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，進而求出三角形面積的最大值，以及此時三角形的形狀．

解答 解：（1）已知等式1+cos（π+2A）=2sin²$\frac{B+C}{2}$，整理得：1-cos2A=2-2cos²A=2cos²$\frac{A}{2}$=1+cosA，
即2cos²A+cosA-1=0，
解得：cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-1（舍去），
則A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵a=6，cosA=$\frac{1}{2}$，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即36=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤9$\sqrt{3}$，當且僅當b=c時取等號，
則△ABC面積的最大值為9$\sqrt{3}$，此時△ABC的形狀為等邊三角形．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．