Question

5．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（m+n）=f（m）+f（n）-2對任意m，n∈R恒成立，當x＞0時，f（x）＞2
（1）證明f（x）在R上是增函數(shù)
（2）已知f（1）=5，解關(guān)于t的不等式f（t-1）≤8．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）若f（1）=5，求出f（2）=8，將不等式f（t-1）≤8，進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）當x＞0時，f（x）＞2，
設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2-f（x₁）=f（x₂-x₁）-2，
∵x₂-x₁＞0
∴f（x₂-x₁）＞2，
∴f（x₂-x₁）-2＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）若f（1）=5，則f（1+1）=f（1）+f（1）-2，
即f（2）=5+5-2=8，
則不等式f（t-1）≤8，等價為f（t-1）≤f（2），
∵f（x）是R上的增函數(shù)，
∴t-1≤2，
即t≤3，
即不等式的解集為（-∞，3]．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵．