Question

8．如圖，AB=BE=BC=2AD=2，且AB⊥BE，∠DAB=60°，AD∥BC，BE⊥AD，
（Ⅰ）求證：面ADE⊥面 BDE；
（Ⅱ）求直線AD與平面DCE所成角的正弦值．．

Answer 1

分析 （Ⅰ）AB=2AD，∠DAB=60°，可得AD⊥DB，再利用線面面面垂直的判定與性質定理即可證明．
（Ⅱ）由已知可得BE⊥面ABCD，點E到面ABCD的距離就是線段BE的長為2，設AD與平面DCE所成角為θ，點A到面DCE的距離為d，利用V_A-DCE=V_E-ADC，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵AB=2AD，∠DAB=60°，∴AD⊥DB，
又BE⊥AD，且BD∩BE=B，
∴AD⊥面BDE，又AD?面ADE，∴面ADE⊥面 BDE；
（Ⅱ）∵BE⊥AD，AB⊥BE，∴BE⊥面ABCD，
∴點E到面ABCD的距離就是線段BE的長為2，
設AD與平面DCE所成角為θ，點A到面DCE的距離為d，
由V_A-DCE=V_E-ADC得：$\frac{1}{3}×d×{S_{△CDE}}=\frac{1}{3}×|BE|×{S_{△ACD}}$，可解得$d=\frac{{\sqrt{30}}}{10}$，
而AD=1，則$sinθ=\frac9bphvxb{|AD|}=\frac{{\sqrt{30}}}{10}$，
故直線AD與平面DCE所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{30}}}{10}$．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質定理、三棱錐的體積計算公式、線面角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．