Question

18．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，A是其上頂點(diǎn)，且△AF₁F₂是等腰直角三角形，延長(zhǎng)AF₂與橢圓C交于另一點(diǎn)B，若△AF₁B的面積為6，則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{2{y}^{2}}{9}$=1．

Answer 1

分析 由△AF₁F₂是等腰直角三角形，可得b=c，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）．在Rt△ABF₁中，由勾股定理可得：$|A{F}_{1}{|}^{2}$+|AB|²=$|{F}_{2}B{|}^{2}$，|AF₂|=|AF₁|=$\sqrt{2}$b，設(shè)|BF₂|=m，則|BF₁|=2a-m=2$\sqrt{2}$b-m，2b²+$（\sqrt{2}b+m）^{2}$=$（2\sqrt{2}b-m）^{2}$，又$\frac{1}{2}|A{F}_{1}||AB|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}b$×$（\sqrt{2}b+m）$=6，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：∵△AF₁F₂是等腰直角三角形，
∴b=c，
可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）．
在Rt△ABF₁中，由勾股定理可得：$|A{F}_{1}{|}^{2}$+|AB|²=$|{F}_{2}B{|}^{2}$，
|AF₂|=|AF₁|=$\sqrt{2}$b，設(shè)|BF₂|=m，則|BF₁|=2a-m=2$\sqrt{2}$b-m，
代入可得：2b²+$（\sqrt{2}b+m）^{2}$=$（2\sqrt{2}b-m）^{2}$，
又$\frac{1}{2}|A{F}_{1}||AB|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}b$×$（\sqrt{2}b+m）$=6，
聯(lián)立解得b²=$\frac{9}{2}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{2{y}^{2}}{9}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{2{y}^{2}}{9}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．