Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）對任意x∈[1，+∞），總有f（x）≥0成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若-8＜k＜0，求函數(shù)|f（x）|在x∈[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≥0分離出參數(shù)k，得k≥-2x+$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），記g（x）=-2x+$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），則問題等價于k≥g（x）_max，由單調(diào)性可得g（x）_max；
（2）對x和k進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)|f（x）|在x∈[0，2]上的最大值．

解答 解：（1）f（x）≥0⇒|x²-1|+x²+kx≥0⇒k≥-$\frac{|{x}^{2}-1|+{x}^{2}}{x}$=-2x+$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），
記g（x）=-2x+$\frac{1}{x}$，易知g（x）在[1，+∞）上遞減，
∴g（x）_max=g（1）=-1，
∴k≥-1；
（2）當(dāng)x∈[0，1）時，f（x）=|x²-1|+x²+kx=1-x²+x²+kx=kx+1，
由-8＜k＜0得：此時函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)x=0時取最大值1，
當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）=|x²-1|+x²+kx=x²-1+x²+kx=2x²+kx-1，
此時函數(shù)的圖象是開口朝上，且以直線x=$-\frac{k}{4}$∈（0，2）為對稱軸的拋物線，
當(dāng)$-\frac{k}{4}$∈（0，$\frac{3}{2}$]，即-6≤k＜0，函數(shù)f（x）x=2時，取最大值2k+7，
當(dāng)$-\frac{k}{4}$∈（$\frac{3}{2}$，2），即-8＜k＜-6，函數(shù)f（x）x=1時，取最大值k+1，
若-3＜k＜0，則2k+7＞1，則函數(shù)|f（x）|在x∈[0，2]上的最大值為2k+7，
若-8＜k≤-3，則2k+7≤1，則函數(shù)|f（x）|在x∈[0，2]上的最大值為1，
綜上可得：函數(shù)|f（x）|在x∈[0，2]上的最大值為：$\left\{\begin{array}{l}2k+7，-3＜k＜0\\ 1，-8＜k≤-3\end{array}\right.$

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．