Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$
（1）證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式
（3）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，當(dāng)n=1時(shí)，可得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，${S}_{n-1}=2{a}_{n-1}-{2}^{n}$，可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，即可證明；
（2）由（1）與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：b_n．
（3）由（1）（2）可得：b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n+1，即可得出a_n．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
∴當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}=2{a}_{1}-{2}^{2}$，解得a₁=4．
當(dāng)n≥2時(shí)，${S}_{n-1}=2{a}_{n-1}-{2}^{n}$，
a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，
化為${a}_{n}-2{a}_{n-1}={2}^{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，
∴b_n-b_n-1=1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1．
（2）解：由（1）可得：b_n=2+（n-1）=n+1．
（3）解：由（1）（2）可得：b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n+1，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．