Question

7．函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，則（　　）

• A． f（x）是偶函數(shù)
• B． f（x）是奇函數(shù)
• C． f（x）=f（x+1）
• D． f（x+3）是奇函數(shù)

Answer 1

分析 首先由奇函數(shù)性質(zhì)求f（x）的周期以及對稱中心，然后利用所求結(jié)論來分別判斷四個選項即可

解答 解：∵f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，
∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），
∴函數(shù)f（x）關(guān)于點（1，0）及點（-1，0）對稱，則f（x）可為奇函數(shù)如f（x）=sin（πx）；也可以為偶函數(shù)如y=cos$\frac{πx}{2}$，滿足函數(shù)f（x）關(guān)于點（1，0）及點（-1，0）對稱，故選項A、B錯；
又因為函數(shù)f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函數(shù)，故選項C錯；
∵f（-x-1）=-f（x-1），
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4），即f（-x+3）=-f（x+3），
∴f（x+3）是奇函數(shù)，故選項D正確．
故選：D．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)中一些主條件的變形，來考查函數(shù)有關(guān)性質(zhì)，方法往往是緊扣性質(zhì)的定義．