Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x²-1|，g（x）=kx²-（2+k）x+2，若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）恰有兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（-∞，0]∪[4，+∞）．

Answer 1

分析 可判斷x=1是函數(shù)F（x）的零點，0不是方程|x²-1|-k（x²-x）+2（x-1）=0的根，從而可得k=$\frac{|{x}^{2}-1|+2（x-1）}{x（x-1）}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|x+1|+2}{x}，x＞1}\\{\frac{-|x+1|+2}{x}，x＜1且x≠0}\end{array}\right.$，從而作圖求解．

解答 解：函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）
=|x²-1|-（kx²-（2+k）x+2）
=|x²-1|-k（x²-x）+2（x-1），
故x=1是函數(shù)F（x）的零點，
故函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有且只有一個不是1的零點，
顯然0不是方程|x²-1|-k（x²-x）+2（x-1）=0的根，
∴|x²-1|-k（x²-x）+2（x-1）=0，
∴k=$\frac{|{x}^{2}-1|+2（x-1）}{x（x-1）}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|x+1|+2}{x}，x＞1}\\{\frac{-|x+1|+2}{x}，x＜1且x≠0}\end{array}\right.$，
作函數(shù)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|x+1|+2}{x}，x＞1}\\{\frac{-|x+1|+2}{x}，x＜1且x≠0}\end{array}\right.$的圖象如下，
，
結合圖象可知，實數(shù)k的取值范圍是（-∞，0]∪[4，+∞）．
故答案為：（-∞，0]∪[4，+∞）．

點評 本題考查了數(shù)形結合的思想應用及分類討論的思想應用．