Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\frac{1}{2}$，橢圓C的右焦點F和拋物線G：y²=4x的焦點相同．
（1）求橢圓C的方程．
（2）如圖，已知直線l：y=kx+2與橢圓C及拋物線G都有兩個不同的公共點，且直線l與橢圓C交于A，B兩點；過焦點F的直線l′與拋物線G交于C，D兩點，記$λ=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用離心率公式和拋物線的焦點，以及a，b，c的關系，即可得到橢圓的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，以及直線方程和拋物線方程運用韋達定理和判別式大于0，結合向量的數(shù)量積的坐標表示，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）橢圓的離心率$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，拋物線y²=4x的焦點為（1，0），
所以橢圓中的c=1，a=2，b²=3．所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\\{y=kx+2}\end{array}}\right.$，消去y可得（3+4k²）x²+16kx+4=0（①），
由${△_1}={（16k）^2}-4×4×（3+4{k^2}）＞0$解得$k＜-\frac{1}{2}$或$k＞\frac{1}{2}$；
由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y=kx+2}\end{array}}\right.$消去y可得k²x²+4（k-1）x+4=0，
由${△_2}=16{（k-1）^2}-16{k^2}＞0$
解得$k＜\frac{1}{2}$，所以$k＜-\frac{1}{2}$．             
由①可得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{3+4{k^2}}}}\\{{x_1}•{x_2}=\frac{4}{{3+4{k^2}}}}\end{array}}\right.$，
y₁•y₂=（kx₁+2）•（kx₂+2）=k²x₁•x₂+2k（x₁+x₂）+4=$\frac{{12-12{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{16-12{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，
當l'的斜率不存在時，C（1，2），D（1，-2），此時，$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}=-3$；
當l'的斜率存在時，設l'的方程為y=m（x-1），（m≠0），
由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y=m（x-1）}\end{array}}\right.$消去y可得m²x²-（2m²+4）x+m²=0，
所以x₃•x₄=1，${y_3}{y_4}=-4\sqrt{{x_1}{x_2}}=-4$，
所以$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}=-3$，
則λ=$\frac{{16-12{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+3$=$\frac{25}{{3+4{k^2}}}$，
因為$k＜-\frac{1}{2}$，所以${k^2}＞\frac{1}{4}$，
所以$0＜λ＜\frac{25}{4}$．

點評 本題考查橢圓和拋物線的方程和性質，主要考查橢圓的離心率和拋物線的焦點，同時考查直線和橢圓方程聯(lián)立，直線和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定理，以及向量的數(shù)量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．