Question

【題目】已知函數ae2x+(a﹣2) ex﹣x.

（1）討論的單調性；

（2）若有兩個零點，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）討論單調性，首先進行求導，發(fā)現式子特點后要及時進行因式分解，再對按， 進行討論，寫出單調區(qū)間；（2）根據第（1）問，若， 至多有一個零點.若，當時， 取得最小值，求出最小值，根據， ， 進行討論，可知當時有2個零點.易知在有一個零點；設正整數滿足，則.由于，因此在有一個零點.從而可得的取值范圍為.

試題解析：（1）的定義域為， ，

（�。┤�，則，所以在單調遞減.

（ⅱ）若，則由得.

當時， ；當時， ，所以在單調遞減，在單調遞增.

（2）（�。┤�，由（1）知， 至多有一個零點.

（ⅱ）若，由（1）知，當時， 取得最小值，最小值為.

①當時，由于，故只有一個零點；

②當時，由于，即，故沒有零點；

③當時， ，即.

又，故在有一個零點.

設正整數滿足，則.

由于，因此在有一個零點.

綜上， 的取值范圍為.

點睛:研究函數零點問題常常與研究對應方程的實根問題相互轉化.已知函數有2個零點求參數a的取值范圍，第一種方法是分離參數，構造不含參數的函數，研究其單調性、極值、最值，判斷與其交點的個數，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對含參函數進行研究，研究其單調性、極值、最值，注意點是若有2個零點，且函數先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗證最小值兩邊存在大于0的點.