Question

17．已知函數(shù)f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$$\frac{ax-6}{x-2}$（a為常數(shù)）在區(qū)間（3，5）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)t=$\frac{ax-6}{x-2}$，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)t=g（x）=$\frac{ax-6}{x-2}$，則函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$t為減函數(shù)，
∵f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$$\frac{ax-6}{x-2}$（a為常數(shù)）在區(qū)間（3，5）上是減函數(shù)，
∴函數(shù)t=g（x）=$\frac{ax-6}{x-2}$在區(qū)間（3，5）上是增函數(shù)，且g（3）≥0
t=g（x）=$\frac{ax-6}{x-2}$=$\frac{a（x-2）+2a-6}{x-2}$=a+$\frac{2a-6}{x-2}$，
若t=g（x）=$\frac{ax-6}{x-2}$在區(qū)間（3，5）上是增函數(shù)，則2a-6＜0，即a＜3，
由g（3）≥0得g（3）=3a-6≥0，解得a≥2，
綜上2≤a＜3，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和分?jǐn)?shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．