Question

6．現(xiàn)有一個(gè)能容納10個(gè)半徑為1的小球的封閉正四面體容器，則該容器棱長(zhǎng)最小值為（　�。�

• A． 4+2$\sqrt{2}$
• B． 4+2$\sqrt{3}$
• C． 4+2$\sqrt{6}$
• D． 6+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由球與正四面體相切可得，第1層有1個(gè)球，第2層有3個(gè)球，第3層有6個(gè)球，共10個(gè)，求出正四面體的高，進(jìn)而得到所求棱長(zhǎng)．

解答 解：由球與正四面體相切可得，第1層有1個(gè)球，第2層有3個(gè)球，第3層有6個(gè)球，共10個(gè)．
當(dāng)每層外沿的球均與正四面體相切時(shí)，該容器棱長(zhǎng)最小，設(shè)為a，
第一層的球心到正四面體的上頂點(diǎn)的距離為d₁=3r；
第一層的球心到第二層的球心的距離為d₂=$\frac{\sqrt{6}}{3}$•2r；
第二層的球心到第三層的球心的距離為d₃=$\frac{\sqrt{6}}{3}$•2r；
第三層的球心到底面的距離為d₄=r．
故正四面體的高h(yuǎn)=d₁+d₂+d₃+d₄=（4+$\frac{4\sqrt{6}}{3}$）r=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，其中r=1，
∴容器棱長(zhǎng)最小a=4+2$\sqrt{6}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正四面體與球的位置關(guān)系：相切，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．