Question

7．已知a+b=2，a＞1，b＞0，求$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}$的最小值．

Answer 1

分析 易得a-1＞0，且a-1+b=1，整體代入可得$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}$=（$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}$）（a-1+b）=3+$\frac{a-1}$+$\frac{2（a-1）}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵a+b=2，a＞1，b＞0，
∴a-1＞0，且a-1+b=1，
∴$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}$=（$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}$）（a-1+b）
=3+$\frac{a-1}$+$\frac{2（a-1）}$≥3+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a-1}$=$\frac{2（a-1）}$即a=$\sqrt{2}$且b=2-$\sqrt{2}$時，
$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}$取最小值3+2$\sqrt{2}$，

點評 本題考查基本不等式求最值，變形已知式子并整體代入是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．