Question

16．解關(guān)于x的不等式：$\frac{ax}{x-1}≤1$．

Answer 1

分析 分當(dāng)a＞1、當(dāng)a=1、當(dāng)0＜a＜1，a=0，a＜0情況，分別求出不等式的解集．

解答 解：：$\frac{ax}{x-1}≤1$可得$\frac{ax}{x-1}$-1≤0，即$\frac{（a-1）x+1}{x-1}$≤0，
等價(jià)于[（a-1）x+1]（x-1）≤0，且x≠1，
當(dāng)a＞1時(shí)，解得$\frac{1}{1-a}$≤x＜1，
當(dāng)a=1時(shí)，解得x＜1，
當(dāng)a＜1時(shí)，不等式化簡(jiǎn)為（x-$\frac{1}{1-a}$）（x-1）≥0，且x≠1
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解得x＜1或x≥$\frac{1}{1-a}$，
②當(dāng)a=0時(shí)，解得x≠1，
③當(dāng)a＜0時(shí)，解得x≤$\frac{1}{1-a}$或x＞1，
綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為[$\frac{1}{1-a}$，1），
當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解集為（-∞，1），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為（-∞，1）∪[$\frac{1}{1-a}$，+∞），
當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為（-∞，0）∪（0，+∞），
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為（-∞，$\frac{1}{1-a}$]∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次不等式、分式不等式的解法，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．