Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的通徑等于1，過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l與拋物線C分別相交于A．B兩個(gè)不同的點(diǎn)．
（1）以AB為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，若是請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo)．若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）過(guò)AB兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線l₁，l₂，設(shè)它們相交于點(diǎn)E．求|OE|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的方程，設(shè)出直線方程與拋物線聯(lián)立，證明原點(diǎn)O落在以AB為直徑的圓上，即可得出結(jié)論；
（2）由導(dǎo)數(shù)求得兩直線的斜率，用點(diǎn)斜式求得l₁ 的方程，同理求得l₂的方程，求出E的坐標(biāo)，即可求|OE|的取值范圍．

解答 解：（1）∵拋物線C：x²=2py（p＞0）的通徑等于1，
∴2p=1，∴拋物線C：x²=y
依題意可設(shè)過(guò)P的直線l方程為：y=kx+1（k∈R），
代入x²=y，可得x²-kx-1=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
依題意可知△＞0恒成立，且x₁•x₂=-1，
∵x₁x₂+y₁y₂=x₁•x₂+（x₁•x₂）²=0，
∴原點(diǎn)O落在以AB為直徑的圓上，
∴以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O；
（2）設(shè)E（x，y），由y=x²，得y′=2x，∴x=x₁，y′=2x₁，
∴l(xiāng)₁ 的方程為 y-x₁²=2x₁（x-x₁），即y=2x₁x-x₁²   ①，
同理，l₂ 的方程為 y=2x₂x-x₂²   ②，
由①②可得x=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=$\frac{k}{2}$，y=x₁x₂=-1
∴|OE|=$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{4}+1}$≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線方程的綜合應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．