Question

10．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和記為S_n，公差為2，且a₁，a₂，a₄依次構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式與S_n
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過a₁，a₂，a₄依次構(gòu)成等比數(shù)列，計算即得結(jié)論；
（2）通過分離分母可得b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的公差為2，
∴a₂=2+a₁，a₄=2×3+a₁，
又∵a₁，a₂，a₄依次構(gòu)成等比數(shù)列，
∴（2+a₁）²=a₁（2×3+a₁），
解得a₁=2，
∴a_n=2n，S_n=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1）；
（2）∵S_n=n（n+1），∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項、前n項和，考查并項相加法，分離分母是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．