Question

10．設(shè)F₁、F₂是雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{9}=1$的左、右焦點，點P在雙曲線上，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，則點P到x軸的距離等于$\frac{9}{10}\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 設(shè)出點P坐標（x，y），由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$得到一個方程，將此方程代入雙曲線的方程，消去x，求出|y|的值，即得點P到x軸的距離．

解答 解：設(shè)點P（x，y），
由雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{9}=1$可知F₁（-$\sqrt{10}$，0）、F₂（$\sqrt{10}$，0），
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，
∴（-$\sqrt{10}$-x，-y）•（$\sqrt{10}$-x，-y）=0，
∴x²+y²=10，
與雙曲線方程${x^2}-\frac{y^2}{9}=1$聯(lián)立，可得y²=$\frac{81}{10}$，
∴|y|=$\frac{9}{10}\sqrt{10}$，
∴P到x軸的距離是$\frac{9}{10}\sqrt{10}$．
故答案為：$\frac{9}{10}\sqrt{10}$．

點評 本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線方程的運用，屬于基礎(chǔ)題．