Question

19．若數(shù)列{a_n}，a₁=$\frac{2}{3}$，且a_n+1=a_n+$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$（n∈N），則通項a_n=$\frac{7}{6}-\frac{1}{n+1}$．

Answer 1

分析 把已知的數(shù)列遞推式變形裂項，然后利用累加法求得數(shù)列的通項公式．

解答 解：∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
又a₁=$\frac{2}{3}$，
則a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+…+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}$
=$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{n+1}=\frac{7}{6}-\frac{1}{n+1}$．
故答案為：$\frac{7}{6}-\frac{1}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了裂項相消法及累加法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．