Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n∈N^*，n≥2），數(shù)列{b_n}滿足關(guān)系式b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n∈N^*，n≥2）兩邊同時取倒數(shù)、整理得$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，進而可知數(shù)列{b_n}是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列；
（2）通過（1）可知b_n=2n-1，進而求倒數(shù)可得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n∈N^*，n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，即b_n=2+b_n-1（n≥2），
又∵a₁=1，
∴b₁=1，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知b_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．