Question

6．已知函數g（x）=f（x）+3x（x∈R）為奇函數．
（Ⅰ）判斷函數f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若x＞0時，f（x）=log₃x，求函數g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數g（x）=f（x）+3x（x∈R）為奇函數，g（-x）=f（-x）-3x=-g（x）=-f（x）-3x，可得f（-x）=-f（x），即可判斷函數f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若x＞0時，f（x）=log₃x，求出x＜0，x=0時的解析式，即可求函數g（x）的解析式．

解答 解：（Ⅰ）∵函數g（x）=f（x）+3x（x∈R）為奇函數，
∴g（-x）=f（-x）-3x=-g（x）=-f（x）-3x，
∴f（-x）=-f（x）
∴函數f（x）是奇函數；
（Ⅱ）設x＜0，則-x＞0，
∵x＞0時，f（x）=log₃x，
∴f（-x）=log₃（-x），
∵函數f（x）是奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=-log₃（-x），
∵g（0）=0，
∴函數g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x+3x，x＞0}\\{0，x=0}\\{-lo{g}_{3}（-x）+3x，x＜0}\end{array}\right.$．

點評 本題考查函數的奇偶性，函數解析式的確定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．