Question

2．已知函數(shù)y=f（x），x∈l，若存在x₀∈l，使得f（x₀）=x₀，則稱x₀為函數(shù)y=f（x）的不動點；若存在x₀∈l，使得f（f（x₀））=x₀，則稱x₀為函數(shù)y=f（x）的穩(wěn)定點，則下列結(jié)論中正確的是①②⑤（填上所有正確結(jié)論的序號）．
①-$\frac{1}{2}$、1是函數(shù)f（x）=2x²-1有兩個不動點；
②若x₀為函數(shù)y=f（x）的不動點，則x₀必為函數(shù)y=f（x）的穩(wěn)定點；
③若x₀為函數(shù)y=f（x）的穩(wěn)定點，則x₀必為函數(shù)y=f（x）的不動點；
④函數(shù)f（x）=2x²-1共有三個穩(wěn)定點；
⑤f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+x}$的不動點與穩(wěn)定點相同．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)y=f（x）的不動點和函數(shù)y=f（x）的穩(wěn)定點的定義，逐一判斷五個結(jié)論的真假，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：①解f（x）=2x²-1=x得：x=-$\frac{1}{2}$，或x=1
故-$\frac{1}{2}$、1是函數(shù)f（x）=2x²-1有兩個不動點，即①正確；
②若x₀為函數(shù)y=f（x）的不動點，則f（x₀）=x₀，
此時f（f（x₀））=f（x₀）=x₀，
則x₀必為函數(shù)y=f（x）的穩(wěn)定點，故②正確；
③若x₀為函數(shù)y=f（x）的穩(wěn)定點，則x₀不一定為函數(shù)y=f（x）的不動點（見①④結(jié)論），故③錯誤；
④解f（f（x））=2（2x²-1）²-1=x，
即8x⁴-8x²-x+1=0得：
x=-$\frac{1}{2}$，或x=1，或x=$\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$，或x=$\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$
即函數(shù)f（x）=2x²-1共有四個穩(wěn)定點，故④錯誤；
⑤若函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)，則不動點與穩(wěn)定點相同，
∵f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+x}$在定義域上為增函數(shù)，
故它的不動點與穩(wěn)定點相同．
故結(jié)論正確的是：①②⑤，
故答案為：①②⑤

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)的零點與方程的根，難度不大，屬于中檔題．