Question

7．從裝有n+1個球（其中n=1個白球，1個黑球）的口袋中取出m個球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C${\;}_{n+1}^{m}$種取法，這C${\;}_{n+1}^{m}$種取法可分成兩類：一類是取出的m個球中，沒有黑球，有$C_1^0•C_n^m$種取法，另一類是取出的m個球中有一個是黑球，有$C_1^1•C_n^{m-1}$種取法，由此可得等式：$C_1^0•C_n^m$+$C_1^1•C_n^{m-1}$=C${\;}_{n+1}^{m}$．則根據上述思想方法，當1≤k＜m＜n，k，m，n∈N時，化簡$C_k^0$•C${\;}_{n}^{m}$+C${\;}_{k}^{1}$•C${\;}_{n}^{m-1}$+C${\;}_{k}^{2}$•C${\;}_{n}^{m-2}$+…+C${\;}_{k}^{k}$•C${\;}_{n}^{m-k}$=C_n+k^m．（用符號表示）

Answer 1

分析 根據題意，類比題目中的數學模型，把C_k⁰•C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k看作從裝有n個白球，k個黑球的袋子里，取出m個球的所有情況取法總數的和，即轉化為從裝有n+k球中取出m個球的不同取法數，由此得出答案．

解答 解：根據題意，在C_k⁰•C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k式中，
從第一項到最后一項分別表示：從裝有n個白球，k個黑球的袋子里，
取出m個球的所有情況，即取法總數的和是多少；
又從裝有n+k個球中取出m個球的不同取法數有C_n+k^m種；
所以，C_k⁰•C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k=C_n+k^m．
故答案為：C_n+k^m．

點評 本題考查了類比推理的應用問題，也考查了數學建模的應用問題，解題的關鍵是熟練掌握排列組合公式，是基礎題目．