Question

2．已知x滿足-3≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤$\frac{1}{2}$，f（x）=log₂$\frac{x}{4}$log₂$\frac{x}{2}$，
（1）令t=log₂x，求t的取值范圍；
（2）求f（x）的最大值和最小值及相對應的x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)-3≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤$\frac{1}{2}$，先確定x的范圍，進而可得t=log₂x的取值范圍；
（2）結合（1）可得y=f（x）=log₂$\frac{x}{4}$log₂$\frac{x}{2}$=t²-3t+2，t∈[-$\frac{1}{2}$，3]，結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得答案．

解答 解：（1）∵-3≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤$\frac{1}{2}$，
∴x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，8]，
又∵t=log₂x，
∴t∈[-$\frac{1}{2}$，3]，
（2）∵f（x）=log₂$\frac{x}{4}$log₂$\frac{x}{2}$=（log₂x-2）（（log₂x-1）=（t-2）（t-1）=t²-3t+2，t∈[-$\frac{1}{2}$，3]，
由函數(shù)y=t²-3t+2的圖象是開口朝上，且以直線t=$\frac{3}{2}$為對稱軸的拋物線，
故當t=$\frac{3}{2}$時，f（x）取最小值-$\frac{1}{4}$，
當t=-$\frac{1}{2}$時，f（x）取最大值$\frac{15}{4}$．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，是解答的關鍵．