Question

14．給定函數(shù)f（x）和g（x），若存在實常數(shù)k，b，使得函數(shù)f（x）和g（x）對其公共定義域D上的任何實數(shù)x分別滿足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為函數(shù)f（x）和g（x）的“隔離直線”．給出下列四組函數(shù)：
①f（x）=$\frac{1}{2^x}$+1，g（x）=sinx；
②f（x）=x³，g（x）=-$\frac{1}{x}$；
③f（x）=x+$\frac{1}{x}$，g（x）=lgx；
④f（x）=2^x-$\frac{1}{2^x}，g（x）=\sqrt{x}$
其中函數(shù)f（x）和g（x）存在“隔離直線”的序號是①③．

Answer 1

分析 畫出圖象，數(shù)形結(jié)合即得答案．

解答 解：①f（x）=$\frac{1}{2^x}$+1與g（x）=sinx的公共定義域為R，
顯然f（x）＞1，而g（x）≤1，故滿足題意；
②f（x）=x³與g（x）=-$\frac{1}{x}$的公共定義域為：（-∞，0）∪（0，+∞），
當x∈（-∞，0）時，f（x）＜0＜g（x），
當x∈（0，+∞）時，g（x）＜0＜f（x），故不滿足題意；
③f（x）=x+$\frac{1}{x}$與g（x）=lgx圖象如右圖，
顯然滿足題意；
④函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{2^x}，g（x）=\sqrt{x}$的圖象如圖，
顯然不滿足題意；
故答案為：①③．

點評 本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．