Question

1．已知直線x-y-1=0與橢圓（n-1）x²+ny²-n（n-1）=0（n＞1）交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓過橢圓的左焦點F，求實數(shù)的n值．

Answer 1

分析 求出F的坐標，直線方程代入橢圓方程并整理，利用韋達定理，結(jié)合以AB為直徑的圓過橢圓的焦點F，利用向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．

解答 解：由題意，橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{n}$+$\frac{{y}^{2}}{n-1}$=1，
∴c=$\sqrt{n-（n-1）}$=1，∴F（-1，0），
將直線y=x-1代入橢圓 $\frac{{x}^{2}}{n}$+$\frac{{y}^{2}}{n-1}$=1并整理，
得：（2n-1）x²-2nx+2n-n²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{2n}{2n-1}$，x₁x₂=$\frac{2n-{n}^{2}}{2n-1}$，
∴y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=$\frac{-{n}^{2}+2n-1}{2n-1}$，
∵以AB為直徑的圓過橢圓的左焦點F（-1，0），
∴$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，即（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0，
∴$\frac{2n-{n}^{2}}{2n-1}$+$\frac{2n}{2n-1}$+1+$\frac{-{n}^{2}+2n-1}{2n-1}$=0，
∴n²-4n+1=0，
∴n=2±$\sqrt{3}$，
又∵n＞1
∴n=2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考查學生分析解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．