Question

16．若a，b，c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則a²+b²=c²，稱這個定理為勾股定理．現(xiàn)將這一定理推廣到立體幾何中：在四面體O-ABC中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，S為頂點O所對面的面積，S₁，S₂，S₃分別為側面△OAB，△OAC，△OBC的面積，則S，S₁，S₂，S₃滿足的關系式為${S}^{2}={S}_{1}^{2}+{S}_{2}^{2}+{S}_{3}^{2}$．

Answer 1

分析 本題考查的知識點是類比推理，在由平面幾何的性質(zhì)類比推理空間立體幾何性質(zhì)時，我們常用的思路是：由平面幾何中點的性質(zhì)，類比推理空間幾何中線的性質(zhì)；由平面幾何中線的性質(zhì)，類比推理空間幾何中面的性質(zhì)；由平面幾何中面的性質(zhì)，類比推理空間幾何中體的性質(zhì)；或是將一個二維平面關系，類比推理為一個三維的立體關系，故類比平面內(nèi)的勾股定理，我們可以推斷四面體的相關性質(zhì)．

解答 解：由a，b，c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則a²+b²=c²，
類比到空間中：
在四面體O-ABC中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，
S為頂點O所對面的面積，
S₁，S₂，S₃分別為側面△OAB，△OAC，△OBC的面積，
則S，S₁，S₂，S₃滿足的關系式為：${S}^{2}={S}_{1}^{2}+{S}_{2}^{2}+{S}_{3}^{2}$．
故答案為：${S}^{2}={S}_{1}^{2}+{S}_{2}^{2}+{S}_{3}^{2}$

點評 類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．